BMW Dynamic Performance Control: Il differenziale “attivo”

Il Dynamic Performance Control è un sistema, implementato dalla casa tedesca BMW, che consente di controllare e modificare in maniera opportuna i momenti torcenti agenti sui semiassi, a seconda delle condizioni di marcia.

Esso presenta al suo interno, un tipo di differenziale (che necessita di un’intelligenza separata per la sua gestione) detto “attivo”, in quanto, grazie all’elettronica di controllo, si può intervenire sul dispositivo in modo da migliorare l’esperienza di guida (a vantaggio della stabilità) e correggere eventuali effetti sottosterzanti, che affliggono (in fase di accelerazione e rilascio) sia i differenziali “standard”, sia il Salisbury.

Sezionando l’interno di questo dispositivo, si possono osservare i suoi elementi costitutivi; troviamo (analizzando metà di esso, la parte opposta è speculare) un freno (elemento giallo sulla sinistra della figura sottostante) interposto tra il telaio del differenziale “attivo” (il telaio del veicolo) e il portasatelliti di un rotismo epicicloidale aggiuntivo, rispetto a quello del differenziale “standard”, che si trova al centro, e a monte del quale vi è un riduttore a ruote coniche.

Analisi statica:

Dalla precedente descrizione si evince che tale dispositivo, può essere schematizzato come un differenziale “standard” a ruote coniche unito ad un rotismo epicicloidale e ad un freno, come mostrato nello schema seguente:

L’elemento rosso (di figura) rappresenta il portasatelliti del differenziale “standard”, i due segmenti (azzurri, uscenti dal precedente portasatelliti) i due semiassi, gli elementi verdi il telaio del meccanismo, quello indicato con la P è il portasatelliti del rotismo epicicloidale e quello giallo il freno (interposto tra telaio e P); a, b, a’, b’ sono le ruote dentate dei vari rotismi e d, d’ i diametri delle ruote a’ e b’. In tale analisi, si valuta solo metà del dispositivo, in quanto esso risulta simmetrico.

Per semplificare la trattazione, si schematizza il rotismo epicicloidale come un rotismo a due gradi di libertà (!): Con n si indica la convenzione (positiva) per il segno dei vettori (e dei momenti); l’elemento azzurro ora rappresenta un albero pieno collegato alla ruota b, quello viola un albero cavo collegato alla ruota a, l’arancione l’albero collegato al portasatelliti P. I momenti applicati dall’esterno ai 3 alberi sono concordi con il versore n.

Considerando tauo il rapporto di trasmissione del rotismo ordinario, associato al rotismo a due gradi di libertà (!), si ricava la seguente relazione:

Comportamento del differenziale:

Analizziamo cosa succede al differenziale nelle sue varie condizioni di funzionamento.

Rettilineo:

Le omega sono le velocità angolari delle ruote dentate, dei vari rotismi. In tale condizione (in caso ideale) si ha che il portasatelliti del differenziale “standard” eguaglia la velocità del semiasse destro (consideriamo solo la metà destra), si ottiene quindi:Applicando questa considerazione nella relazione (1), si ricava che:Ciò implica:Quindi in rettilineo, la velocità angolare del portasatelliti P del rotismo epicicloidale , uguaglia quella della ruota a (o albero cavo della seconda schematizzazione !).

Trascurando l’attrito nel differenziale e considerando i vincoli indipendenti dal tempo, posso impiegare tale relazione:Inoltre, osservando i momenti (indicati dalle M, con annessi pedici) applicati dall’esterno ad a, b e P, si ricavano le seguenti relazioni:Se la velocità angolare del portasatelliti del rotismo epicicloidale è concorde con il versore n, Mp (il momento applicato dall’esterno al portasatelliti P) è discorde con n, quindi negativo e di conseguenza otterremo dalle relazioni precedenti λ > 0; per poter lavorare con un momento frenante positivo, si applica tale convenzione:Dalle precedenti considerazioni sui segni, si ottiene un λ positivo.

Curva a sinistra (caso di trazione):

Sia Mo il momento applicato al portasatelliti del differenziale “standard”, M1 ed M2 i momenti torcenti applicati ai due semiassi, Wo la velocità angolare del portasatelliti rispetto al telaio.Essendo ηo il rendimento del rotismo ordinario del differenziale, nel caso di differenziale “standard” ho la seguente situazione:Da ciò si deduce (essendo ηo < 1) che:Questo porterà (in determinate condizioni) allo slittamento della ruota interna alla curva e alla comparsa dell’effetto sottosterzante.

Nel caso di un differenziale con Dynamic Performance Control, per semplificare lo studio di tale condizione (curva a sinistra, in trazione) faccio le seguenti considerazioni:

1) Applico il momento Ma sulla ruota a della seconda schematizzazione (!), e quindi –Ma (vettore rivolto verso sinistra) sul portasatelliti del differenziale “standard” (primo schema);

2) L’albero azzurro applica su b (del secondo schema!) Mb (vettore diretto verso sinistra), ciò implica che b fornisca all’albero azzurro il momento Mb (diretto verso destra), il quale, può essere visto come – Mb (vettore diretto verso sinistra); quindi in definitiva si ha –Mb (diretto verso sinistra) sul semiasse destro (il semiasse 2).

Si ottiene la seguente configurazione (ç):Facendo l’equilibrio del tratto destro (a destra del segmento rosa), si ottiene:Dall’equilibrio alla rotazione di (ç) attorno all’asse del differenziale (trascurando l’attrito nella coppia rotoidale tra telaio e portasatelliti):Per l’equilibrio alla rotazione (del secondo schema!) attorno all’asse del differenziale (trascurando l’attrito nella coppia rotoidale tra telaio e portasatelliti):Combinando le due relazioni precedenti:Considerando lo schema (ç), ed applicando le relazioni precedenti:Utilizzando questo schema, con le precedenti considerazioni, otteniamo:Combinando la precedente relazione con la (2):Trascurando gli attriti, nel caso ideale, ηo = 1 e questa considerazione ci permette di semplificare i risultati ottenuti:Si deduce che M2 > M1, quindi con questo differenziale “attivo”, non abbiamo più l’effetto sottosterzante in curva (la trattazione relativa alla curva a destra e alla fase di rilascio è simile, quindi la omettiamo). Questa proposta da BMW, è solo una delle innumerevoli soluzioni costruttive possibili.

In questo articolo vi abbiamo dimostrato come, con l’aggiunta di un freno e di un rotismo epicicloidale, si possa risolvere il problema derivante dall’applicazione di un momento torcente maggiore, sul semiasse interno alla curva. Quindi con questo sistema, si riesce all’occorrenza, a garantire maggiore stabilità del veicolo marciante, rispetto ad un differenziale “standard” e ad anche rispetto al Salisbury.

Di contro, l’aggiunta di tali elementi comporta la necessità di un sistema di controllo elettronico, dotato di sensori che consentono l’innesto/disinnesto del freno e controllano le velocità angolari di tutti gli elementi, con un conseguente maggior costo di progettazione, manutenzione ed un incremento della complessità generale.